Chapter 3 基礎微積分

3.1 數列的極限

數列收斂的定義，我們說一個數列\({a_n}\)收斂到\(L\)的定義如下:

  • 對所有\(\epsilon>0\)，我們能找到一個數\(M>0\)，使得\(n>M\)時，有\(|a_n - L|<\epsilon\)

當超過數列某一項(M)之後，數列的值與L小於任何正數

  • 如果不存在這麼一個\(L\)的話，我們說這組數列發散
  • 如果收斂，數學上我們寫\(\lim_{n \to \infty}a_n = L\)
  • 如果兩組數列收斂，則他們滿足純量的四則運算

3.1.1 夾擠定理

如果數列\({x_n}\)和\({y_n}\)收斂到\(L\)，且數列\(w_n\)每一項都滿足\(x_n \leq w_n \leq y_n\)，則我們有\(w_n\)也收斂到\(L\)

Example : Find \(\lim_{n \to \infty}2^{-n}(cos(n^3-n^2+n-13))\)

3.1.2 比較定理

假設數列\({x_n}\)和\({y_n}\)都是收斂數列，如果在某一項\((M)\)之後都有\({x_n} \leq {y_n}\)，則我們有\(\lim_{n\to\infty}x_n \leq \lim_{n\to\infty}y_n\)

3.2 級數

簡單來說，就是把數列裡面的值加起來!!

  • 部分和(partial sum)，就是把數列的一部分加起來，數學上我們寫\(s_n := \sum_{k=1}^na_k\)
  • 我們說一個級數收斂當且僅當\(|s_n - s|<\epsilon\)對所有\(n>N\)
  • 不收斂則發散，嚴謹地說，部分和不收斂或\(\sum_{k=1}^na_k = \infty\)及發散

比較好記的方法 👉 級數收斂就是數列加總之後會到一個固定的值

\(\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^k\) 是不收斂的，部分和不收斂，或是他在-1,1跳動，沒有跑到一個特定的值!!

  • 我們稱一個級數絕對收斂當且僅當\(\sum_{k=1}^{\infty}|a_k|<\infty\)
  • 我們稱一個級數條件收斂僅且僅當級數收斂但不是絕對收斂

3.2.1 數列收斂審歛法

在一般情況下，課本教一堆公式，但是有用的只有以下三個

  1. Root Test

假設\(a_k\)是一個實數數列，定義\(r = \displaystyle\limsup_{k \to \infty}|a_k|^{1/k}\)

  • 如果 \(r<1\)，則\(\sum_{k=1}^{\infty}a_k\)絕對收斂
  • 如果 \(r>1\)，則\(\sum_{k=1}^{\infty}a_k\)發散
  1. Ratio Test

假設\(a_k\)是一個實數數列，且對於\(k \to \infty\)，\(a_k \neq 0\)，定義\(r = \displaystyle\frac{\lim_{k \to \infty}a_{k+1}}{\lim_{k \to \infty}a_{k}}\)

  • 如果 \(r<1\)，則\(\sum_{k=1}^{\infty}a_k\)絕對收斂
  • 如果 \(r>1\)，則\(\sum_{k=1}^{\infty}a_k\)發散

:notebook_with_decorative_cover: 如果\(r=1\)，以上兩種方法都無效，注意到他們的判斷內容完全一致

  1. Compare Test

假設對於很大的\(k\)，我們有\(0 \leq a_k \leq b_k\)，則

  • 如果\(\sum_{k=1}^{\infty}b_k < \infty\)，則\(\sum_{k=1}^{\infty}a_k < \infty\)
  • 如果\(\sum_{k=1}^{\infty}a_k = \infty\)，則\(\sum_{k=1}^{\infty}b_k = \infty\)

解題時先看能不能用Ratio Test，在看Root Test!!

3.2.2 特殊級數

p級數

如果\(k>1\)，則\(\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{n^k}\)收斂

望遠鏡級數

不用記公式，考試直接把級數展開就可以了

Example : \(\sum_{k=1}^{\infty}(a_k - a_{k+1}) = a_1 - \lim_{k \to \infty}a_k\)，(要在數列收斂的情況下)

幾何級數

如果\(x<1\)，則\(\sum_{k=0}^{\infty}x^k = \frac{1}{1-x}\)

3.2.3 交錯級數

正負號相間的級數極為交錯級數

看到交錯級數馬上想到 Dirichlet Test

Dirichlet Test

假設\(a_k\)和\(b_k\)為實數數列，如果\(a_k\)的部分和有界且\(b_k\)單調遞減到0，則我們有\(\sum_{k=1}^{\infty}a_kb_k\)收斂

Example : 證明\(\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^k/\log k\)收斂

3.2.4 冪級數

甚麼叫做一個冪級數，當我們把無窮級數寫成多項式的形式\(P(x) = \sum a_kx_k\)，就稱為冪級數，但是我們無法從這個形式得到更多的資訊，所以我們一般在數學上定義寫作: \[ P(x) = \sum_{k = 0}^{\infty}a_k(x - x_0)^k \]

  • \(x_0\) 是一個固定的常數，可以當作冪級數的中心點，或是展開點
  • 收斂半徑\((R)\)的定義為所有\(x\)使得範圍\(|x-x_0|<R\)級數絕對收斂，\(|x-x_0|>R\)級數發散
  • 冪級數的好處是在收斂半徑內可以做為微分以及積分的運算

3.2.5 收斂半徑

用完以上檢驗法之後，我們可以知道級數和是收斂或發散的，如果是收斂的，我們會想知道他在那些地方收斂，級數和收斂的範圍稱為收斂半徑，那麼收斂半徑怎麼算呢?? 把Root test和Ratio test顛倒過來看就對了!! 我們有以下公式:

\[R = \frac{1}{\displaystyle\limsup_{n \to \infty}\sqrt[n]{|a_n|}} = \frac{1}{\displaystyle\lim_{n \to \infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|}\]

端點要自己驗證是否收斂 👉 把端點值帶入級數判斷是否收斂

3.2.6 泰勒展開式定理

如果一個函數可以在中心點為\(x_0\)的附近寫成冪級數的樣子，他的形式一定是以下的表達式:

\[f(x) = \sum_{k = 0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n}{n!}\]

  • 如果\(x_0 = 0\)，換句話說，我們在中心點為\(0\)的地方展開時，又稱為Maclaurin級數
  • 泰勒餘項為\(\displaystyle R_n(x) = f(x) - \sum_{k=0}^{n-1}\frac{f^{(k)}(x_0)(x-x_0)^k}{k!}\)

Example : Find the Taylor expansion of \(e^x,\sin x,\cos x, \ln (1+x)\) at the center \(x_0 = 0\), you should also calculate the radius of convergence

通常用來找展開式的方法有以下三種 1. 泰勒展開式，利用微分去找級數的規律 2. 用二項式或者等比公式 3. 拿已知的展開式去改

3.3 純量場

甚麼叫做一個向量場??我們先來講講純量函數(純量場)

  • 簡單來說，就是賦予空間上每一個點一個值，例如\(f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2\)

:notebook_with_decorative_cover: 空間中的弧長變化率為\(ds = \sqrt{(dx)^2 + (dy^2) + (dz)^2}\) :notebook_with_decorative_cover: 空間中曲線的單位切向量變化為\(du = (\frac{dx}{ds},\frac{dy}{ds},\frac{dz}{ds})\)

3.3.1 方向導數

方向導數是純量場中\(f(x,y,z)\)沿著某個向量上的導數，物理意義是純量場沿著方向\((u)\)的順時變化率，數學上我們寫做\(D_uf(x,y,z) = \displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{f(x_0+hu_1,y_0+hu_2,z_0 + hu_3) - f(x,y,z)}{h}\)

假設\(f(x,y,z)\)為空間中一個純量場，我們想知道純量場基於位移\((ds)\)的順時變化率\((df)\)，即求\(\frac{df}{ds} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{ds} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{ds} + \frac{\partial f}{\partial z}\frac{dz}{ds}\)或是我可們可以寫成\(\nabla f \cdot \vec u\)，其中\(\vec u\)為曲線的單位切向量

Example : 純量場\(f(x,y,z)=x^2+y^3-2\)，在點\((1,2,8)\)沿著方向\((\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},0)\)的方向導數

其實方向導數就是斜率的概念，只是他的方向可以是任何的，不僅僅是\(x\)和\(y\) 方向導數定義\(df/ds\) = 純量場的變化 / 位移(單位弧長)

3.3.2 梯度

梯度表示純量場的值變化最為劇烈的方向，注意到，其實就是使方向導數最大的那個方向，所以我們的問題是\(\max{\nabla f\cdot \vec u}\)，回想起國高中的內積定義，其實就是梯度向量\(\nabla f\)與\(\max\vec u\)同向，

梯度的方向其實就是使得切線斜率最大的那個方向

3.4 向量場

向量場其實與純量場很相像

  • 簡單來說，就是賦予空間上每一個點一個向量，下面為兩張範例圖

3.4.1 散度

空間中給定一個向量場\(\vec F = (F_1(x,y,z),F_2(x,y,z),F_3(x,y,z))\)，散度的物理意義是向量場在某一點\((P)\)的單位體積淨流出量(net flux)，或是說這個向量場在\(P\)點的發散程度。想要理解散度，我們先來講講甚麼叫做淨流出量

流量的數學定義為 \(\iint_C\vec F \cdot NdA\)，其中\(C\)為一個封閉迴路，\(A\)為\(C\)圍成的面積，\(N\)為面積\(A\)的單位法向量，然而\(\vec F\)不一定都指向上，所以我們要算\(F\)投影到法向量上的值來表示流量，最後，我們再把每一個點得到的值加總起來就是向量場\(\vec F\)在\(A\)的流量

不難想像向量場\(\vec F\)在與法向量平行的時候會有最大的流量

有了流量的概念，我們可以來談談散度了，散度的數學定義如下:

\[div\vec F(P) = \lim_{\Omega \to 0}\frac{1}{\Omega}\iint_C\vec F\cdot NdA = \frac{\partial F_1}{\partial x} + \frac{\partial F_2}{\partial y} + \frac{\partial F_3}{\partial z} = \nabla \cdot \vec F\]

其中\(\Omega\)為點\(P\)附近圍成的面積，不難看出散度代表著向量場在單點的流出強度

3.4.2 旋度

在進入旋度前，我們先來講講環流量，空間中的向量場\(\vec F\)沿著曲線\(C\)環繞的流量就稱為環流量，我們有以下的數學表達式:

\[\oint_C\vec F\cdot Tds\]

其中\(T\)為切線方向的單位向量，而旋度的定義就是把面積無線縮小之後的環流量，有數學式:

\[curl\vec F = \lim_{A \to 0}\frac{1}{A}\oint\vec F \cdot Tds = (\frac{\partial F_3}{\partial y} - \frac{\partial F_2}{\partial z},\frac{\partial F_1}{\partial z} - \frac{\partial F_3}{\partial x}, \frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y}) = \nabla \cdot \vec F\]

  1. 散度是把通量除以無限縮小的體積，可以想成對通量的微分
  2. 旋度是把環流量除以無限縮小的面積，可以想成對環流量的微分
  3. 通量是單位時間內通過某個曲面的流量，散度為通量強度
  4. 流量是單位時間內環繞某個曲線的流量，旋度為流量強度

3.5 線積分

線積分主要分為兩類，線積分的精神為 👉分割長方形 👉算長方形面積 👉取極限和

3.5.1 第一類線積分

主要為對弧長\(L\)的積分，數學上記做\(\int_Lf(x, y)ds\)，有方向但沒做功

  • 被積函數可以視作線的質量密度，物理意義為求曲線的質量
  • 如果有參數式\((x, y) = (x(t), y(t)), t \in[t_0, t_1]\)，則弧長為\(\int_Lds = \int_{t_0}^{t_1}\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}dt\)
  • 一般形式(參數式)為\(\int_Lf(x,y)ds = \int_{t_0}^{t_1}f(x(t),y(t))\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}dt\)
  • 線積分可以分段積分(兩線段需接在一起)

Example : \(\int_Lxyds\), where \(L\) is a line from \((-3,-3)\) to \((0,0)\) and curve \(y = 4x^2\) for \(x \in [0,2]\)

3.5.2 第二類線積分

空間中力沿著曲線的做功

  • 回想國中做功的功式為 \(功(W) = \langle位移(S),力(F)\rangle\)，在這裡也一樣，我們想要研究空間向量場中一個向量(力)沿著曲線做了多少功，因為我們要計算位移與力的內積，我們給定沿著曲線切線方向的一個單位向量\(\vec T\)並把\(\vec F\)投影到\(\vec T\)上(\(\vec F \cdot \vec T\))，數學上寫作\(\int_L\vec F \cdot \vec T ds\)
  • 既然\(\vec T\)為曲線的單位切向量，我們有\(\vec T = \frac{dr}{|dr|}\)，其中\(|dr| = \sqrt{(dx)^2 + (dy)^2 + (dz)^2} = ds\)，所以\(\int_L\vec F \cdot \vec T ds = \int_L \vec F \cdot d\vec r\)，假設\(\vec F = (F_1(x,y,z), F_2(x,y,z), F_3(x,y,z))\)，則我們有形式\(\int_L\vec F \cdot \vec T ds = \int_L F_1dx + F_2dy + F_3dz\)
  • 換成形式\(\int_L F_1dx + F_2dy + F_3dz\)則回到第一類線積分處理

Example : Find \(\int_L(x^2 - y^2)dx+2xydy\) where \(L(x,y) = (t^2, t^3)\) with \(t \in [0,1]\)

一定先找到曲線的參數式再下手，永遠記得換成參數式後要乘以一個轉換倍數

3.5.3 特殊曲線之擺縣

一個半徑為\(r\)的圓球向前滾動軌跡所形成的曲線，我們有參數式\((x,y) = (r(t-\sin t), r(1-\cos t))\)

3.5.4 與路徑無關的線積分

假設\(\vec F = (F_1(x,y,z), F_2(x,y,z), F_3(x,y,z))\)

甚麼叫做與路徑無關??，要是從A點到B點的積分值沿著不同曲線積分都相同，我們就說這是與路徑無關的線積分，什麼樣的曲線積分滿足與路徑無關呢??

  • 如果存在位勢函數\(\phi(x,y,z)\)使得\(\frac{\partial\phi}{\partial x} = F_1\)，\(\frac{\partial\phi}{\partial y} = F_2\)，\(\frac{\partial\phi}{\partial z} = F_3\)，或是\(\nabla\phi = \vec F\)
  • 我們稱這樣的\(\vec F\)為保守場
  • 保守場下的線積分與路徑無關，只與起點與終點有關

簡易推導過程 :+1:

  1. 我們已知\(x,y,z\)為\(t\)的函數，根據鏈鎖率我們有\(\frac{d \phi}{dt} = \frac{\partial \phi}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial \phi}{\partial y}\frac{dy}{dt}+\frac{\partial \phi}{\partial z}\frac{dz}{dt}\)
  2. 所以\(d\phi = \frac{\partial \phi}{\partial x}dx + \frac{\partial \phi}{\partial y}dy + \frac{\partial \phi}{\partial z}dz = F_1dx + F_2dy + F_3dz\)
  3. 最後\(\int_LF_1dx + F_2dy + F_3dz = \int_Ld\phi = \phi(end) - \phi(start)\)
  • 如果起點與終點是同一個點的話，線積分為\(\phi(end) - \phi(start) = 0\)
  • 保守場的旋度為0

簡易推導過程 :+1:

  1. 假設\(\phi\)為保守場\(\vec F\)的位勢函數
  2. 計算\(curl \vec F = \nabla \times \vec F\)，其中\(\nabla = (\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z})\)
  3. 利用二次微分且連續的性質可以說明微分順序的調換性
  4. 結論 : \(\phi\) 二次可微分且連續的話，保守場的旋度為0

3.6 格林定理

\(C\)為平面上一條封閉曲線，其圍成的區域稱為\(D\)，如果向量場\(\vec F = (M(x,y),N(x,y))\)在\(D\)上有一階連續偏導數，且\(D\)的面積為\(A\)，則我們有: \[\iint_D\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}dA = \oint_CMdx+Ndy\]

不要看格林定理公式很長就不知所措，格林定理的核心概念就是告訴你，在曲線上的線積分可以換成圍成區域上的面積分

Example: Find \(\oint_C 2xy-x^2dx+(x+y^2)dy\) where \(C\) is the boundary of the area enclose by parabola \(y = x^2\) and line \(y = x\)